Partialbråksuppdelning

Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk)

${\displaystyle {\frac {r(x)}{h(x)}}=\sum _{j}{\frac {r_{j}(x)}{h_{j}(x)}}}$

där ${\displaystyle h_{j}(x)}$ är ett irreducibelt polynom och polynomet ${\displaystyle r_{j}(x)}$ har lägre gradtal än ${\displaystyle h_{j}(x)}$. Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer.

Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella):

Faktor i nämnaren	Lämplig ansats
${\displaystyle x+a}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}}{x+a}}}$
${\displaystyle (x+a)^{n}}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}}{x+a}}+{\frac {A_{2}}{(x+a)^{2}}}+\ldots +{\frac {A_{n}}{(x+a)^{n}}}}$
${\displaystyle x^{2}+ax+b}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{x^{2}+ax+b}}}$
${\displaystyle (x^{2}+ax+b)^{n}}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{x^{2}+ax+b}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(x^{2}+ax+b)^{2}}}+\ldots +{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(x^{2}+ax+b)^{n}}}}$

Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna ${\displaystyle A_{k}}$ och ${\displaystyle B_{k}}$ är entydigt bestämda.

Exempel

Partialbråksuppdela

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+x-3}{(x+1)^{2}(x+2)}}}$

Först identifieras faktorer i nämnaren och sedan ansätts partialbråk med hjälp av tabellen ovan:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+x-3}{(x+1)^{2}(x+2)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{(x+1)^{2}}}+{\frac {C}{x+2}}\qquad (1)}$

Återstår att bestämma koefficienterna A, B och C, vilket kan ske genom att multiplicera båda leden med vänsterledets nämnare, förkorta uttrycken samt ordna termerna efter gradtal:

${\displaystyle 2x^{2}+x-3=(A+C)x^{2}+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C)}$

Efter identifiering av termer i vänster- och högerleden med samma gradtal går det att bilda ett linjärt ekvationssystem

${\displaystyle A+C=2}$

${\displaystyle 3A+B+2C=1}$

${\displaystyle 2A+2B+C=-3}$

som kan lösas med exempelvis gausselimination:

${\displaystyle A=-1,}$

${\displaystyle B=-2,}$

${\displaystyle C=3}$

Därmed är partialbråksuppdelningen klar då vi har hittat koefficienterna ${\displaystyle A,B,C}$

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+x-3}{(x+1)^{2}(x+2)}}=-{\frac {1}{x+1}}-{\frac {2}{(x+1)^{2}}}+{\frac {3}{x+2}}}$

Handpåläggning

Istället för att identifiera koefficienter, tilldelas x nollställen till de olika faktorerna i nämnaren. Varje sådan faktor multipliceras med ekvationens båda led. Varje term som har denna faktor i nämnaren får den bortförkortad, övriga termer blir noll. Väljs x = -1 övergår (1) till

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+x-3}{(x+2)}}\,=\ (0)+B+(0)=-2{\Big |}_{x=-1}}$

det vill säga, B = -2. Väljs x = -2 övergår (1) till

${\displaystyle {\frac {2x^{2}+x-3}{(x+1)^{2}}}\,=\,(0)+(0)+C=3{\Big |}_{x=-2}}$

det vill säga, C = 3. Men A måste bestämmas på annat sätt (till exempel med gausselimination), eftersom samma procedur skulle ge nolldivision för koefficient B (multipelrot i nämnaren förkortas ej bort).

Namnet handpåläggning kommer från att med en hand hålla för den faktor man formellt multiplicerar med.

Referenser

• Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 
• Rodhe, Staffan, 1946- (2006). Naturlig matematik. Studentlitteratur. ISBN 9144020309. OCLC 185402678. http://worldcat.org/oclc/185402678. Läst 9 maj 2019