曲率(きょくりつ、英: curvature)とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である[1]。
例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した[2]。
曲線の曲率
定義
ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P(位置ベクトル rP で表されるとする)までの距離を s とする。(この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。)
このとき点 P の位置は、
![{\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649484224bad7f3dd51886f37774840afb77c0f2)
のように、変数 s の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り rP = r とする。)
このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル(これを tP とする)は、
![{\displaystyle \mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} (s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1342d9d740e01492de8e907e1a038f701966f5d)
となる。(位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。)
同様に、
と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル tQ は、
![{\displaystyle \mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c940f18e54e92c55ecf1a6606fa5707d8ae45908)
であり、二つの単位接線ベクトル tP 、tQ のなす角度を Δθ とすると、
![{\displaystyle {\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e93918484f8c8898422efb302344fa2994fea03)
である。
Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、
![{\displaystyle \Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f90acf6e8126689e1463f3fbeb9d5b7b5bccd7)
と見做せる。
従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。
![{\displaystyle \chi (s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4633c74024cd2c6532f92b74d75fc1f71579ec)
一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。
また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。
性質
更に、t を s で微分すると、
![{\displaystyle {d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f2657cc921c348c10aefa34e061766127510ee)
が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、
![{\displaystyle \left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9a0edc111be8d878da64bab781460db2806eff)
となり、これを s について微分すると、
![{\displaystyle {d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335b031146a9d69fd8599601d21455d2322d1ee6)
となるためである(ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している)。
ベクトル t と n の外積、
![{\displaystyle \mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c654d3460ebda69d954dbf9ab37fa0d4fa7c7c0)
で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。
出典
[脚注の使い方]
- ^ "曲率". 百科事典マイペディア. コトバンクより2022年2月10日閲覧。
- ^ 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193。
関連項目
参考文献
- 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』(改訂版)裳華房、1995年。ISBN 978-4-7853-1091-2。http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm。
典拠管理データベース: 国立図書館 ![ウィキデータを編集](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
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