Mathissonovy–Papapetrouovy–Dixonovy rovnice

Obecná teorie relativity
Základní pojmy
Obecný princip relativity Teorie relativity Vztažná soustava Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Světočára Riemannova geometrie
Jevy
Gravitace Gravitační pole Gravitační studna Gravitační čočka Gravitační vlny Gravitační rudý posun Rudý posuv Modrý posuv Dilatace času Shapirův efekt Geodetický efekt Strhávání časoprostoru Gravitační potenciál Gravitační kontrakce Gravitační kolaps Gravitační singularita Horizont událostí Nahá singularita Černá díra Bílá díra Časoprostor (Prostor, Čas, Prostoročasový diagram, Minkowského prostor, Červí díra)
Rovnice, formalismus
Einsteinovy rovnice gravitačního pole Mathisson–Papapetrou–Dixon Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení
Schwarzschild Reissner–Nordström Gödel Kerr Kerr–Newman
Vědci
Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Penrose Hawking Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Čchiou Thorne

Ve fyzice, přesněji v obecné teorii relativity, soustava Mathissonových-Papapetrouových-Dixonových rovnic popisuje pohyb (klasické) testovací částice se dvěma vnitřními stupni volnosti -- hmotností (monopólem) a spinem (dipólem), ve vnějším gravitačním poli. Jsou odvozeny ze zákonů zachování a je pro ně charakteristické, že obecně algebraicky nespojují 4-hybnost a 4-rychlost spinující částice, což mimo jiné znamená, že 4-hybnost a 4-rychlost částice nemusejí být paralelní.

Znění

Mějme prostoročas s Lorentzovou metrikou ${\displaystyle (T,g)}$ spolu s Riemannovou konexí ${\displaystyle \nabla }$ a k ní příslušejícím Riemannovým tenzorem ${\displaystyle R}$. Pokud ${\displaystyle \gamma (t)}$ je hladká křivka v ${\displaystyle T}$ parametrizovaná tak, aby její tečné vektorové pole ${\displaystyle U}$ splňovalo ${\displaystyle g(U,U)=-1}$, a pokud tato křivka reprezentuje světočáru spinující částice s hybností ${\displaystyle P}$ a bivektorem spinu ${\displaystyle J}$, pak podél ${\displaystyle \gamma }$ platí:

${\displaystyle \nabla _{U}{}P=-{\frac {1}{2}}R(J)U,}$

${\displaystyle \nabla _{U}{}J=P\wedge {}U.}$

Vlastnosti

• Mathissonovy-Papapetrouovy-Dixonovy rovnice představují podurčený systém: 10 rovnice (4+6) pro 13 neznámých (3 složky ${\displaystyle U}$, 4 složky ${\displaystyle P}$ a 6 složek ${\displaystyle J}$). Je tedy nutné jej doplnit dalšími rovnicemi. Obvyklou volbou jsou podmínky kladené na bivektor spinu ${\displaystyle J}$ -- dodatečné spinové podmínky; nejpoužívanějšími jsou

Piraniho podmínka: ${\displaystyle i_{\flat {}U}J=0}$,

Tulczyjewova podmínka: ${\displaystyle i_{\flat {}P}J=0}$

(${\displaystyle \flat }$ značí snížení indexu metrikou ${\displaystyle g}$).

• Pokud je ${\displaystyle W}$ hladké časupodobné vektorové pole podél ${\displaystyle \gamma }$, které spolu s ${\displaystyle J}$ splňují ${\displaystyle i_{\flat {}W}J=0}$, pak je čtyřvektor spinu definován jako ${\displaystyle S}$ vztahem

${\displaystyle S:=\ast (J\wedge {}W)}$.

Literatura

• Papapetrou A., Spinning Test-Particles in General Relativity. I, Proc. Roy. Soc. London A. roč. 209. DOI: 10.1098/rspa.1951.0200
• Dixon W. G., Dynamics of Extended Bodies in General Relativity. I. Momentum and Angular Momentum, Proc. Roy. Soc. London A, 1970, roč. 314. DOI: 10.1098/rspa.1970.0020
• Semerák O., Spinning test particles in a Kerr field – I, Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999, roč. 308. DOI: 10.1046/j.1365-8711.1999.02754.x